Utiliser un tableau de variations pour comparer des images - Exemples

Exemple

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction \(f\).

• On souhaite comparer \(f(-1)\) et \(f(-0,5)\).
  

Comme on ne dispose pas de l'expression algébrique de la fonction \(f\), on ne peut calculer ni \(f(-1)\) ni \(f(-0,5)\).
On va utiliser le tableau de variations de la fonction \(f\).
Les nombres \(-1\) et \(-0,5\) appartiennent tous les deux à l'intervalle \([-2;0]\) sur lequel la fonction \(f\) est croissante. Par conséquent, on a : \(\color{red}{-2\leq}-1<-0,5 \color{red}{\leq 0}\) donc \(f(-1)\leq f(-0,5)\).

• On compare \(f(0,1)\) et \(f(0,7)\).
  

Les nombres \(0,1\) et \(0,7\)  appartiennent tous les deux à l'intervalle \([0;1]\) sur lequel la fonction \(f\) est décroissante. Par conséquent, on a : \(\color{red}{0\leq}0,1<0,7 \color{red}{\leq 1}\) donc \(f(0,1)\geq f(0,7)\)

• Est-il possible de comparer \(f(0,5)\) et \(f(2)\) ?
  

Le nombre \(0,5\) appartient à l'intervalle \([0;1]\) et le nombre \(2\) appartient à l'intervalle \([1;4]\). 
Les nombres \(0,5\) et \(2\) n'appartiennent pas tous deux à un intervalle sur lequel la fonction \(f\) est monotone. On ne peut donc pas comparer \(f(0,5)\) et \(f(2)\).

La seule information dont on dispose concernant \(f(0,5)\) et \(f(2)\) est : \(f(0,5)\in [-1;0]\) et \(f(2)\in [-1;2]\) .